HASTA ANTES DEL MATEMÁTICO BERTRAND RUSSELL NUNCA NADIE SE HABÍA CUESTIONADO CÓMO ES QUE 1 + 1 = 2
Todo lo que nos parece real, está hecho de cosas que no pueden considerarse reales.
(Niels Bohr)
Lo que sea que estemos describiendo, la mente humana no puede separarse de sí misma.
(Roger Jones)
Hasta antes del matemático Bertrand Russell nunca nadie se había cuestionado cómo es que 1 + 1 = 2, pues todo el mundo da por sentado que esto es un hecho incuestionable, simple “sentido común”, en ciencia a esto se le denomina axioma, el termino axioma sugiere una verdad supuesta que no necesita explicación, básicamente es una asunción aceptada por fe en que debe ser real. El terreno de las matemáticas ha sido concebido el reino de la certidumbre, la parte más segura y confiable del entendimiento humano, pero recordemos que la base descriptiva de las matemáticas consiste en un juego de axiomas que se aceptan, pero no se demuestran, y de ahí se derivan todos los teoremas que siguen sus axiomas.
¿Qué sucede cuando alguien como Russell intenta desafiar la aparente solidez absoluta de estas conjeturas lógicas?, para responder a esta pregunta primero debemos analizar cómo fue que llegamos a aceptar estos axiomas como verdades incuestionables.
El mundo contemporáneo occidental se rige esencialmente por los consensos que la ciencia materialista (objetividad pura) y positivista (donde un conocimiento sólo es válido si es verificado a través de los sentidos) ha aceptado, y que básicamente descienden de los principios fundamentales y dogmas de la filosofía grecorromana, particularmente los contenidos en el “idealismo platónico” y el “esencialismo aristotélico”, pero principalmente el “realismo filosófico”, que funge como eje central de la ciencia moderna, y expone que los objetos tienen una existencia independiente del observador.
Hemos heredado la interpretación griega de la realidad, esa interpretación no es la misma que la hindú, no es la misma que la china taoísta, no es la misma que la egipcia (donde, por ejemplo, toda creación se representaba como surgiendo de la fusión constante de Geb y Nut, las dualidades, que se separan como potencial puro y se unen como energía uniforme y quietud), es diferente, ellas poseen otros axiomas fundamentales.
Con frecuencia las reglas de juego (o axiomas) que parecen innegables en una cultura no parecen para nada naturales y son frecuentemente negadas o incomprendidas por otras culturas, tomemos como ejemplo el axioma básico de los alquimistas expresado en la Tabla de Hermes en la famosa frase “Lo que está arriba es como lo que esta abajo”, con lo cual indicaban que el universo posee una naturaleza fractálica, pero no tenían un término específico para designarlo. Durante mucho tiempo este axioma hermético no fue comprendido por los no iniciados hasta que en el siglo XX Benoit Mandelbrot acuñó el termino fractal, que sintetizaba a la perfección la esencia de esta expresión.
Los griegos obtenían sus modelos teóricos en base a un razonamiento deductivo, partiendo de algún axioma o principio fundamental y no inductivamente de lo que habían observado. Su método de hallar los teoremas mediante el razonamiento deductivo a partir de axiomas incuestionables se convirtió en la característica central del pensamiento filosófico griego. Los griegos creían que sus teoremas matemáticos eran expresiones de verdades eternas y exactas del mundo real. Platón, Aristóteles y otros notables filósofos helénicos, proclamaron haber encontrado un método de “razonamiento abstracto puro” que, ellos creían, llevaría a la “verdad pura” sin ninguna distorsión inducida por nuestros órganos sensoriales falibles.
Debido a su característica curiosidad intelectual la filosofía griega produjo ideas extremadamente ingeniosas sobre la naturaleza, que a veces se aproximan mucho a los modelos científicos modernos, la gran diferencia con la ciencia moderna es la actitud empírica, algo que, por lo general, era totalmente ajeno a la mentalidad griega.
Pese a que el modelo de pensamiento helénico que hemos heredado es el resultado de un proceso de maduración filosófica que llego a su cúspide con Aristóteles, quien se encargó de resumir, sistematizar y organizar todo el conocimiento de su época, y que como ningún otro filosofo antes que él profundizó en el estudio de la lógica, la llamada ciencia del razonamiento, la filosofía griega contó con muchas otras corrientes de pensamiento metafísico que divergían bastante en cuanto a sus premisas básicas, floreciendo principalmente con los filósofos presocráticos, que dedicaban gran parte de su tiempo a teorizar sobre la “realidad profunda”, pero que al final quedarían proscritas debido a la extraordinaria acogida con la que contó la lógica aristotélica.
Su tratado de lógica fue considerado durante siglos como la obra más completa escrita sobre el razonamiento humano, y a ello debió sobre todo su prestigio inmenso, el esquema que creó serviría de base durante más de 2 mil años a la concepción occidental del universo; citando a Robert Anton Wilson:
El cerebro de la humanidad ha sido lavado por Aristóteles por los últimos 2 mil 500 años...
Fue gracias a Tomas de Aquino, filósofo, doctor y santo de la iglesia católica que el clero apoyó las ideas de Aristóteles, pues Aquino señaló, por primera vez en la historia, que eran compatibles con la fe católica. Estas ideas predominaron durante toda la Edad Media, hasta la llegada del Renacimiento. Fue entonces cuando el hombre comenzó a liberarse de la inmensa influencia de Aristóteles y de la Iglesia, mostrando un nuevo interés en la naturaleza.
La ciencia moderna comenzó con la demostración de Galileo de que el color no está “en” los objetos sino “en” la interacción de nuestros sentidos con los objetos. Galileo fue el primero que combinó el conocimiento experimental con las matemáticas, efectuando experimentos a fin de demostrar las ideas especulativas y es, por ello, considerado como el padre de la ciencia moderna, pues su trabajo condujo a la formulación de verdaderas teorías científicas.
Galileo, por lo tanto, enseñaba que, para descubrir las leyes, regularidades y patrones de la naturaleza, primero es necesario extraer los fenómenos del mundo real para luego pasar a considerar las leyes fuera del marco de las contingencias de la vida cotidiana.
Este modo de basar firmemente todas las teorías sobre la experimentación se conoce como método científico, y es básicamente una síntesis de la “razón pura” del antiguo arte griego del razonamiento deductivo y lógico para la formulación de resultados expresados en “lenguajes” muy precisos y especiales llamados modelos matemáticos.
Esta amalgama de la lógica aristotélica con el empirismo que originó el nacimiento de la ciencia moderna fue precedida y acompañada por una evolución del pensamiento filosófico que llevó a una formulación extrema de la hipótesis del dualismo espíritu-materia.
Esta formulación apareció en el siglo XVII en la filosofía de René Descartes, quien basó su visión de la naturaleza en una fragmentación fundamental, la de la mente (res cogitans) y la de la materia (res extensa).
A partir de 1673, René Descartes dividió la realidad en dos reinos separados e independientes; el de la materia por un lado y el de la conciencia o la mente por el otro. Ha sido tan "potente" este dualismo que en Occidente se le considera como un principio objetivo y no como un producto conceptual.
La famosa frase de Descartes "Cogito ergo sum" (“Pienso, luego existo”) llevó al hombre occidental a identificarse totalmente con su mente, y a tratar a la materia como algo muerto y totalmente separado de él mismo. De esta forma, para el occidental es claro que atribuirle conciencia a la materia es tan erróneo como considerar que la materia y la realidad son una y la misma realidad.
Posteriormente un hombre llamado Isaac Newton expuso sus ideas sobre el movimiento y la termodinámica, así como su teoría gravitatoria. Con estos revolucionarios aportes, pareció entonces por algunos siglos que al fin el hombre había descubierto la vía definitiva que podía resolver todos los enigmas y responder a todas las preguntas. Se pensaba ingenuamente que algún día podríamos saber todo sobre todo, y describirlo con elegantes ecuaciones matemáticas.
Pero este sueño murió con la llegada de dos controvertidas y extrañísimas teorías, la relatividad y la mecánica cuántica, ambas teorías probaron, en formas distintas, que el sistema nervioso humano, aunque asistido por instrumentos sofisticados, produce resultados igualmente inciertos que los obtenidos por el sistema nervioso humano sin la ayuda de instrumentos.
La relatividad invalidaba geometría euclidiana que fue considerada durante más de mil años como la verdadera naturaleza del espacio, así como la idea que teníamos sobre el tiempo sólo era una creación subjetiva del intelecto.
En cuanto a la mecánica cuántica parecía “incomprensible” para los físicos en primer lugar porque, 300 años después de que Galileo acribillara la física de Aristóteles, ellos todavía pensaban en las categorías de la lógica aristotélica, donde X debe “ser” ya sea una onda o una partículo y no puede “ser” ambas, una onda y una partícula, dependiendo de cómo y dónde la “veamos”.
Los físicos y matemáticos ahora se daban cuenta de que estaban atrapados en los marcos conceptuales que utilizaban para comprender el mundo, así pues cobraban conciencia de que habían sido como insectos que caminan en una esfera inconmensurablemente grande y que por lo tanto asumían como una planicie, y a medida que progresan en el estudio de la geometría de su mundo aparentemente plano descubren los axiomas y las leyes de la geometría euclidiana, hasta que un día surge entre ellos un genio que demuestra sus abstracciones de la realidad con extrañas operaciones matemáticas que confirman que viven en un mundo que no es plano, y ya que ellos no se pueden posicionar en una ubicación donde puedan percibir la esfera esto les parece incomprensible y sumamente confuso pues es difícil pensar en algo que no podían imaginar, pero que a medida que idean experimentos y obtienen mediciones, confirman las predicciones hechas por el insecto más lúcido.
Fue necesario un Einstein para hacer ver a los científicos y filósofos que la idea ingenua de que la geometría es algo inherente a la naturaleza tan sólo fue impuesta sobre ella por la mente.
Sin embargo, la razón pura ya había fallado mucho antes que Einstein nos mostrara sus brillantes observaciones. El filósofo alemán Immanuel Kant compuso quizá la lista más larga de defectos de la “razón pura” de los clásicos griegos, evidenciándolo de la siguiente manera:
Cuando una flecha es disparada desde un arco hacia un objetivo parece moverse a través del espacio.
Sin embargo, en el mismo momento la flecha solamente ocupa una posición en el espacio, no dos o tres o más posiciones.
De ese modo, en todo momento la flecha existe en un solo lugar, no dos o tres o más. En otras palabras, en todo instante la flecha tiene una posición.
Si la flecha tiene una y sólo una posición definida en cada momento, entonces en cada instante no se mueve. Si no se mueve en ninguno de estos instantes, nunca se mueve en absoluto.
No se puede escapar de esta lógica posicionando instantes-entre-instantes. En estas unidades de nanotiempo se mantiene la misma lógica. En cada nanoinstante la flecha tiene alguna posición, no varias posiciones. Por tanto, incluso en nanoinstantes, la flecha no se mueve en absoluto.
Parece que la única forma de salir de este absurdo consiste en reconocer que la flecha, después de todo, ocupa dos locaciones al mismo tiempo. Esto, sin embargo, lleva a mayores problemas, que los inicialmente planteados...
Kant expuso una forma de idealismo que llamó idealismo trascendental, donde manifestaba que hay una realidad que es independiente de las mentes humanas, el “noúmeno”, o “la-cosa-en-sí-misma”, pero que siempre permanece incognoscible para la mente.
Ahora que hemos analizado las bases del proceso axiomático occidental, y hemos descubierto que todo proceso cognitivo que realizamos está total y completamente limitado por axiomas preexistentes de nuestros modelos mentales, podemos continuar con la historia de cómo Bertrand Russell casi logró demostrar que 1 + 1 = 2.
Bertrand Russell, el racionalista más excepcional del siglo XX, notó que muchas de las reglas de las matemáticas se basaban en axiomas básicos incuestionables, que se daban por hecho por sentido común (aunque lo que llamamos “sentido común” sólo sean consensos populares de costumbres, en otras palabras, una fábula idiota del lenguaje dada por la ignorancia del fondo filosófico operacional), por ejemplo “Si hay un número natural X, X + 1 también es numero natural”, si se aceptan estos axiomas, el resto de las matemáticas se seguía lógicamente. Casi todos los matemáticos se mostraban satisfechos con esta situación, pero esto no le bastaba al joven Russell, que creía necesario que las matemáticas contaran con fundamentos más sólidos que aportaran una certidumbre absoluta, y esto sin duda tendría que ser un sistema basado en el estricto empleo de la lógica.
En el mundo cotidiano afirmar que una manzana más otra manzana resulta en tener dos manzanas es sencillo, cualquiera puede demostrar estas afirmaciones, sin embargo, las matemáticas abstraen las cantidades del mundo de los objetos y las llevan a un lenguaje simbólico y lógico. En vez de hablar de dos manzanas hablan de algo llamado “2”, pero no es posible encontrar un “2” en el mundo de los objetos materiales, pues los números son conceptos inmateriales y abstractos, por lo tanto no tienen existencia física. El enunciado 1 + 1 = 2, entonces afirma que un concepto inmaterial unido a otro concepto inmaterial es lo mismo que un concepto inmaterial distinto. Si uno recuerda que los conceptos inmateriales son, en esencia, cosas que hemos inventado, puede decir que el enunciado 1 + 1 = 2 es arbitrario. El proyecto de Russell era mediante el empleo de la lógica poder demostrar más allá de toda duda que 1 + 1 = 2 no es un enunciado arbitrario, sino una verdad fundamental.
Básicamente lo que este brillante matemático pretendía era bucear en las profundas aguas de la mente donde todo funciona a un nivel de aprehensión prelógico en donde estamos tratando de indicar o invocar algo que existe previo a las palabras y categorías, es ahí donde habitan los axiomas que las matemáticas no habían podido comprobar o refutar, y que Russell intentaba cazar para demostrar de una vez por todas la validez absoluta de los fundamentos matemáticos.
En otras palabras, el propósito de Russell era establecer unas definiciones claras de los términos matemáticos empleando lo que hoy en día denominamos conjuntos. Un conjunto se define como una colección de cosas, imaginemos que este aristócrata británico quería una definición lógica de un número, tomemos en este caso el número 2, si lograra hallar todos los ejemplos de dos cosas en el mundo real, estaría en posición de definir el concepto inmaterial del número “2”, entonces podría decir que el “2” es el símbolo que representa el conjunto de todas estas cosas. Pero dar una definición similar del número “0” es más complicado, por lo que Russell se las ingenió para definir el número “0” como el conjunto de cosas que no eran idénticas a sí mismas, pues según las leyes de la lógica, no hay nada que no sea idéntico a sí mismo, de modo que esta es una representación valida de la “nada”. En términos matemáticos definió el número “0” como el conjunto de los conjuntos vacíos.
Si Russell era capaz de usar un modelo de pensamiento similar, basado en los conjuntos, para dar una definición del número “1” y el proceso “+1”, por fin podría alcanzar su objetivo de demostrar más allá de toda duda que “1 + 1 = 2”. Pero surgió un problema, a este problema en la actualidad se le conoce como “la paradoja de Russell”, y tiene que ver con el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. ¿Ese conjunto se contiene a sí mismo? Según las leyes de la lógica, si se contuviera a sí mismo no podría contenerse, y si no se contuviera, entonces se contendría. La situación era muy similar a la famosa paradoja autorreferente del filósofo griego Epiménides, un cretense que afirmo que todos los cretenses eran mentirosos. Claramente, el cretense también debe referirse a sí mismo cuando habla de mentirosos. Pero, ¿si por casualidad estaría diciendo la verdad en este caso? Si esto es cierto, la declaración en sí, «todos los cretenses son mentirosos», de hecho es verdad y, por lo tanto, las declaraciones que hace cada cretense individualmente son falsas. Pero si esta afirmación es falsa, entonces todos los cretenses, de hecho, no son mentirosos, sino que dicen la verdad. Pero en este caso la afirmación debe ser verdadera y, por lo tanto, el cretense es un mentiroso, en tal caso...
Bertrand Russell y Alfred North Whitehead intentaron resolver todos nuestros problemas semánticos con su "teoría de los tipos" pero a pesar de todos sus esfuerzos y tretas realizadas para evitar este problema, su torre de lógica matemática se derribaba en todos y cada uno de sus intentos por estabilizarla, daba la impresión de que las paradojas fueran aspectos inevitables de cualquier sistema autocontenido que pudieran crear las matemáticas... por desgracia para los matemáticos, resultó que así era, ni siquiera el intelecto de Bertrand Russell fue capaz de crear un sistema lógico y matemático libre de paradojas.
fuente/pijamasurf
